Bentuk 3-D
Bentuk 2-D
Melihat Pecahan dari perspektif garis nombor
9 years ago
Statistical Thinking in Empirical Enquiry
This is about discusses the thought processes involved in statistical problem solving in the broad sense from problem formulation to conclusions. It draws on the literature and in-depth interviews with statistics students and practising statisticians aimed at uncovering their statistical reasoning processes. From these interviews, a four-dimensional framework has been identified for statistical thinking in empirical enquiry. It includes an investigative cycle, an interrogative cycle, types of thinking and dispositions. We have begun to characterise these processes through models that can be used as a basis for thinking tools or frameworks for the enhancement of problem-solving. Tools of this form would complement the mathematical models used in analysis and address areas of the process of statistical investigation that the mathematical models do not, particularly areas requiring the synthesis of problem-contextual and statistical understanding. The central element of published definitions of statistical thinking is “variation”. We further discuss the role of variation in the statistical conception of real-world problems, including the search for causes.
Geometric and Spatial Thinking in Young Children
Although geometry and spatial reasoning are important as a way to interpret and reflect on the physical environment and also form the foundation for learning mathematics and other subjects, many early childhood and primary school teachers spend little time instructing their students in these areas. This paper examines how young children learn about space and geometry, discusses how they think about specific concepts in this area, and presents activities and teaching approaches that early childhood educators can use to help them develop. Section 1 of the paper examines how children learn about space and geometry and begins with an examination of Piaget's belief that children have constructed "perceptual space" by infancy but develop ideas about space through action; this is followed by a discussion of children's exploration of shapes by touch, drawing of shapes, and the development of perspective taking. This section also describes levels of geometric thinking--from a holistic, unanalyzed visual beginning through description to an analysis of geometric figures--and discusses the important role of education in this development. Section 2 discusses how children of different ages think about salient mathematical concepts: shape, spatial orientation, and spatial visualization and imagery. Section 3 presents suggestions for instructing young children, including use of manipulatives and pictures, computer manipulatives, and the Agam program to develop the visual language of young children.
Membina Pemikiran Geometri Pelajar di Sekolah
- Bagi sesetengah pelajar, proses pembelajaran berlaku secara aktif dan berkesan melalui permaianan.
- Arahan simulasi dalam geometri serta aktiviti pengayaan boleh diterapkan didalam aktiviti bermain seperti : 1) menyusun blok - blok dan mozek mengikut corak tertentu. 2) menyelesaikan tangram.
- Dalam aktiviti begini, pelajar akan dapat mempelajari konsep geometri dengan lebih berkesan serta bermakna bagi mereka.
- Contoh dalam menyusun mozek, guru boleh bertanya apakah bentuk geometri yang digunakan serta apakah bentuk atau corak yang dibentuk daripada susunan - susunan blok - blok tiles tersebut.
- juga apa penyelesaian yang dapat diterokai daripada permainan tangram serta origami.
Write up geometry
Pengenalan
Matematik adalah salah satu bidang ilmu yang sangat menyeluruh sifatnya. Ia merangkumi semua aspek kehidupan, seperti membuat perhitungan, membuat penilaian dan seterusnya membuat keputusan. Melalui proses penyelesaian masalah seharian, manusia dikerah untuk mengeluarkan pendapat seterusnya memberikan hujah terhadap keputusan atau langkah penyelesaian yang diambil. Disinilah peranan berfikir secara matematik dapat membantu manusia membuat pertimbangan yang wajar sebelum memilih sesuatu jalan penyelesaian.
Bagi memperkembangkan potensi pemikiran matematik di dalam akal manusia, ia seharusnya bermula dari peringkat kanak-kanak. Konsep matematik terhadap alam sekeliling sebenarnya telah wujud di dalam akal kanak-kanak sejak dari peringkat bayi lagi. Ini merujuk kepada sifat ingin tahu kanak-kanak terhadap objek, terutama melalui deria sentuhan. Pendedahan awal kepada banyak bentuk konkrit di sekeliling kanak-kanak sebenarnya mencetuskan pelbagai persepsi terhadap alam sekeliling. Pelbagai konsep terbentuk di dalam minda kanak-kanak, yang boleh bersifat betul dari segi konsepnya, ataupun yang bersifat miskonsepsi.
Konsep Geometri dan hubungannya dengan kanak-kanak tidak dapat dipisahkan. Seperti yang telah dijelaskan, penerokaan kanak-kanak terhadap bentuk, terutama bentuk 3 dimensi telah berlaku sejak bayi. Mereka dideahkan dengan pelbagai objek permainan yang mempunyai pelbagai bentuk, saiz, warna dan tekstur. Pendedahan awal inilah yang membantu kanak-kanak membentuk pemikiran terhadap geometri. Apabila kanak-kanak memasuki alam persekolahan, rancangan pengajaran dan pembelajaran kemahiran geometri mestilah berdasarkan prakonsep yang telah terbentuk di dalam pemikiran kanak-kanak ini. Peranan guru adalah sangat kritikal supaya konsep-konsep yang terbentuk dapat dikembang atau diperbetulkan bagi membolehkan kanak-kanak memahami serta dapat menyelesaikan masalah yang berkait dengan geometri, seterusnya menghargai keindahan yang terdapat di dalam unsur-unsur geometri.
Apakah Geometri
Ilmu geometri telah wujud dan berkembang sejak dari zaman mesir purba, walaupun ia lebih lama daripada itu. Pandangan cendikiawan hanya merujuk bermulanya ilmu geometri pada zaman Tamadun Mesir, kerana bermula pada zaman inilah, ilmu geometri direkodkan secara bertulis. Unsur perkembangan geometri adalah disebabkan aktiviti menyukat semula kawasan milik penduduk mesir yang sering di landa banjir akibat limpahan sungai Nil. Geometri berasal daripada perkataan latin iaitu ‘Geo’ yang bermaksud tanah, dan ‘metri’ yang bermaksud ukur. Secara umumnya, ilmu geometri adalah cabang ilmu matematik yang mengambil berat persoalanan mengenai saiz, bentuk, dan kedudukan relatif dari rajah dan sifat ruang. Geometri ialah salah satu dari sains yang tertua. Permulaan geometri terawal yang direkodkan boleh dijejak ke Mesopotamia purba, Mesir, dan Lembah Indus dari sekitar 3000 SM. Geometri awal adalah koleksi dari empirikal yang dijumpai yang mengambil berat jarak, sudut, luas, dan isipadu, yang telah berkembang untuk menemukan sesetengah keperluan praktikal dalam tinjauan, pembinaan, astronomi, dan berbagai kraf. Teks terawal yang dikenali pada geometri ialah Papirus Papirus Mesir, dan Papirus Moscow, Batu bersurat tanah liat Babylonia, dan Shulba Sutras India, manakala orang Cina mempunyai karya Mozi, Zhang Heng, dan Sembilan Bab pada Seni Matematik, ditulis oleh Liu Hui.
Geometri Euclid merupakan sebuah sistem matematik yang disumbangkan oleh seorang ahli matematik Yunani bernama Euclid dari Alexandria. Teks Euclid, Elements merupakan sebuah kajian sistematik yang terawal mengenai geometri. Ia sudah menjadi salah satu buku-buku yang paling berpengarh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan kaedahnya yang mempunyai isi kandungan matematik. Kaedah cara yang mengandungi andaian satu set aksiom secara intuitif yang sangat menarik, dan kemudiannya membuktikan banyak usul (teorem-teorem) daripada aksiom-aksiom berkenaan. Walaupun banyak daripada keputusan-keputusan oleh Euclid sudah dinyatakan oleh ahli-ahli matematik Yunani sebelumnya, Euclid merupakan orang yang pertama untuk menunjukkan bagaimana usul-usul ini diletakkan secara sempurna membentuk satu deduksi dan sistem logik yang komprehensif. Buku Elements ini bermula dengan geometri satah, yang masih lagi diajar di sekolah menengah sebagai satu sistem aksioman dan contoh-contoh pembuktian formal yang pertama. Kemudiannya, Elements merangkumi geometri pepejal dalam tiga dimensi, dan seterusnya geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu bilangan dimensi yang terhingga. Kebanyakan daripada Elements menyatakan keputusan-keputusan dalam apa yang kini disebut sebagai teori nombor, yang boleh dibuktikan menerusi kaedah geometri.
Rasional Ilmu Geometri
Geometri menghubungkan manusia dengan dunia seharian. Semua aspek praktikal dan estetik geomteri boleh ditemui dalam bidang seni dan pembinaan, penerokaan ruang, perancangan perumahan, serta rekaan fesyen dan kenderaan. Topik-topik ini sebenarnya memberikan persepsi yang berbeza kepada kanak-kanak dan akan menarik minat mereka untuk melibatkan diri dengan ilmu geomteri. Hubungan yang terbentuk dengan alam sekeliling dengan ilmu geomteri akan membentuk dan mengembangkan pengetahuan dan kemhiran geometri, kemahiran memvisualisasi ruang, atau boleh ditakrifkan sebagai celik ruang (spatial sense), serta keupayaan menyelesai masalah.
Del Grande dan Morrow (1989), menyenaraikan 7 kemahiran yang menyumbang kepada kemahiran celik ruang iaitu;
a) Koordinasi motor-mata
b) Persepsi latar-bentuk
c) Ketetapan persepsi
d) Position-in –space perception
e) Persepsi hubungan antara ruang
f) Diskriminasi visual
g) Memori visual
Semua kemahiran ini boleh dikuasai dan dikembangkan dengan aktiviti yang dilakukan dengan meneroka bentuk 2 dimensi dan tiga dimensi oleh kanak-kanak.
Sistem dan konsep Geometri
Disebabkan geometri adalah sebahagian daripada kehidupan manusia, ahli-ahli matematik telah membangunkan beberapa system geometri. Sistem-sistem tersebut adalah Geometri Topologi, Geometri Euclidean, Geometri Koordinat dan Geometri Transformasi.
Geometri Topologi adalah ilmu geometri yang berkait dengan kedudukan objek seperti dekat, jauh, dalam, luar dan sebagainya. Konsep-konsep yang perlu kanak-kanak didedahkan adalah seperti konsep ‘proximity’, kedudukan relatif, susunan serta pengasingan dan juga konsep ‘enclosure’.. Geometri Koordinat adalah juga geometri kedudukan tetapi dalam bentuk grid grid dan biasanya meliibatkan titik-titik atau paksi. Geometri Transformasi pula merujuk kepada geometri berubah seperti pusingan, terbalik, pantulan dan sebagainya. Teselasi adalah konsep penting yang perlu dikembangkan di dalam Geometri Transformasi. Geometri Euclidean adalah system geometri yang paling luas dipelajari, iaitu ilmu geometri asas yakni bentuk, sama ada 2 dimensi atau 3 dimensi. Dalam geometri Euclidean inilah kanak-kanak malahan seluruh manusia belajar mengenai bentuk serta elemen-elemen di dalamnya.
Walaupun system ini wujud dalam bentuk yang terasing, tetapi dari aspek praktikalnya masing-masing saling bertindan. Hanya istilah yang boleh membezakan setiap jenis geometri ini. Gurulah yang berperanan mendedahkan kepada murid ilmu geometri agar mereka dapat menguasai kemahiran geometri serta celik ruang.
Elemen-Elemen Geometri
Plane Figures
1) Points : ialah titik iaitu lokasi dalam ruang,pada permukaan atau dalam system koordinat. Titik tidak mempunyai dimensi dan ditakrifkan hanya oleh kedudukannya sahaja. Ianya mengandungi lebar dan ketebalan.
2) Lines : ialah sambungan diantara dua titik dalam ruang atau pada suatu permukaan. Garisan merupakan satu siri set titik. Ianya mempunyai panjang tetapi tidak ada lebar,iaitu mempunyai satu dimensi sahaja. Garis lurus ialah jarak terpendek diantara dua titik pada permukaan yang rata.
3) Planes : ialah sebarang lokus titik – titik yang diperluaskan dalam dua dimensi. Ia ditakrifkan sebagai satu luas. Permukaan boleh menjadi rata (permukaan satah) atau melengkung, terhingga atau tak terhingga. Ianya mempunyai panjang dan lebar tetapi tiada tinggi.
4) Angles : iaitu ruang diantara dua garisan atau permukaan yang bertemu. Jika dua garis selari,maka sudut diantaranya ialah sifar. Sudut diukur dalam `darjah’ atau dalam `radian’. Satu kitaran lengkap ialah 360 darjah. Garis lurus membentuk sudut 180 darjah dan sudut tegak ialah 90 darjah.
5) Curves and convex sets :
curves : ialah set titik – titik yang membentuk atau boleh disambungkan oleh satu garis selanjar pada graf atau permukaan yang lain. Terdapat beberapa jenis lengkung(curves) antaranya ialah :
5.1) simple curve : iaitu titik mula dan titik akhir tidak bertindih antara satu sama lain atau tidak bertemu di penghujungnya.
5.2) simple closed curve : iaitu lengkung mudah yang mana titik mula dan titik akhirnya bertemu di satu titik yang sama.
5.3) closed curve : iaitu lengkung yang bertindih diatasnya sendiri tetapi titik mula dan titik akhir bertemu disatu titik yang sama.
Convex sets : iaitu penyatuan diantara `simple closed curve’ didalamnya dipanggil kawasan permukaan (plane region). Ianya boleh diklasifikasikan kepada dua iaitu convex dan nonconvex :
Convex : iaitu garisan lurus dan lengkung yang bersatu diantara dua titik.
Nonconvex : iaitu garisan yang merentasi lengkung atau garis lurus yang merentasi suatu permukaan sempadan yang berada diluar kawasannya.
6) Polygons : iaitu `simple closed curve’ yang mana penyatuan diantara garis – garis lurus. Penyatuan garis lurus didalam polygon disebut sebagai kawasan bersudut(polygonal region). Polygon boleh diklasifikasikan kepada beberapa jenis berdasarkan kepada bilangan sisi garis lurus yang terdapat padanya. Garisan lurus pada polygon disebut sisi(sides),titik akhir yang bertemu disebut bucu(vertices). Dua sisi adalah sisi bersebelahan jika berkongsi bucu yang sama dan dua bucu adalah bucu yang bersebelahan jika berkongsi garis lurus sisi yang sama. Mana – mana garis lurus yang menyambungkan dari satu bucu ke bucu yang tidak bersebelahan di panggil pepenjuru(diagonal).
Polygons and tessellations
1) Angles in polygons : sudut diukur dalah `darjah’ atau dalam `radian’. Satu kitaran lengkap ialah 360 darjah. Garis lurus membentuk sudut 180 darjah manakala suatu sudut tegak ialah 90 darjah. Sudut diantara satu garis lurus dan satu satah/permukaan ialah sudut diantara garis itu dengan unjuran ortogonnya pada satah itu. Sudut diantara dua satah atau permukaan ialah sudut diantara garis – garis yang dilukis bercabang dengan menggunakan titik yang sama. Terdapat beberapa jenis sudut dalam polygon diantaranya ialah :
a) Sudut tirus
b) sudut lurus
c) sudut tegak
d) sudut refleks
e) sudut cakah
2) Congruence : adalah suatu keadaan dimana menunjukkan dua atau lebih banyak rajah yang sama dalam saiz dan bentuk. Suatu rajah apabila diletakkan didalam satu rajah yang lain,bentuknya menjadi sama. Ianya juga boleh digerakkan tanpa mengubah saiznya. dua garis lurus adalah kongruen jika kedua – duanya adalah sama panjang dan dua sudut adalah kongruen jika ukurannya adalah sama.
3) Regular polygons : polygon disebut sebagai `regular polygon’ jika ianya memenuhi kedua – dua criteria berikut :
a) Semua sudut adalah kongruen
b) Semua sisinya adalah kongruen
Antara jenis – jenis `regular polygon’ ialah :
a) Equilateral triangle
b) Square
c) Regular pentagon
d) Regular hexagon
e) Regular heptagon
4) Tessellations with polygons : ialah suatu keadaan dimana penyusunan bentuk – bentuk polygon tanpa ada pertindihan rajah diatasnya dan ada jurang yang berlaku diantaranya untuk menutup sesuatu ruang. Contohnya seperti floors and ceilings. Tiga jenis polygon iaitu ` regular hexagons’ , `square’ and ` equilateral triangles’ adalah `regular polygons’ yang tessellated(menyerupai mozek).
Space figures
1) Planes : didalam bentuk 2-D seperti (lines,angles,polygons) hanya terdapat pada satu permukaan (plane). Dalam 3-D pula ianya terbentuk daripada sejumlah permukaan yang dicantumkan menjadi bongkah. Apabila dua permukaan(plane)yang selari diletakkan secara bersilang maka terdapat sudut tegak iaitu perpendicular.
2) Polyhedra : adalah bentuk – bentuk 3-D yang terdiri daripada beberapa permukaan rata. Setiap garis lurus sisi terbentuk secara semulajadi. Setiap permukaan yang ada pada bongkah itu dipanggil `polygonal region’,yang apabila digabungkan menjadi polyhedral. Permukaan yang terdapat pada polyhedra dipanggil permukaan(faces),permukaan bersilang pada sisi/tepi dan bucu. Penyatuan polyhedron dan bahagian didalamnya dipanggil solid(pepejal). Polyhedron dipanggil convex(cembung) apabila garis lurus bersambung dengan titik yang berada didalam ataupun pada permukaannya.
3) Regular polyhedra : ialah `convex polyhedron’ yang mana permukaannya sama dengan `regular polygons’. Bilangan yang sama apabila bertemu pada setiap bucu. Terdapat 5 `regular polyhedra’ diantaranya :
a) Tetrahedron : 4 triangles for faces
b) Cube : 4 square faces
c) Octahedron : 8 triangular faces
d) Dodecahedron : 12 pentagons for faces
e) Icosahedrons : 20 triangular faces
Semiregular polyhedral : yang mana permukaannya mempunyai dua atau lebih `regular polygons’ dengan susunan yang sama pada keseluruhan bucu – bucunya bertemu.
4) Pyramids and prisms :
Pyramids : iaitu rajah yang mana tapaknya ialah sebarang polygon dan permukaannya mestilah beberntuk segitiga dengan bucu yang sama. Pyramid dinamakan berdasarkan bentuk tapaknya. Pyramid juga mempunyai puncak(apex).
Prisms : iaitu rajah yang mempunyai dua permukaan yang selari diatas dan dibawah yang disebut sebagai tapak,ianya juga merupakan polygon kongruen. Sepertimana pyramid,prisma juga dinamakan berdasarkan bentuk tapaknya.
5) Cones and cylinders :
Cones : ialah sebuah bentuk dimana ianya menyerupai pyramid dan prisma tetapi mempunyai tapak yang berbentuk bulat,manakala sisi/tepinya melengkung dan mencondong ke arah bucu(apex).
Cylinders : mempunyai dua tapak yang berbentuk bulat yang sama saiz. Ianya mempunyai bahagian sisi yang melengkung yang menghubungkan dua tapak itu tadi.
6) Spheres and maps :
Spheres : adalah satu siri set titik dalam ruang yang mempunyai jarak yang sama dari titik pusat. Penyatuan semua sfera dalamannya membentuk `solid sphere’.
Jejari : jarak dari pusat bulatan ke seberang titik pada lilitannya atau dari pusat sfera ke permukaannya.
Diameter : jarak yang melintangi suatu rajah satah atau satu bulatan pada titik yang paling lebar. Diameter bulatan atau sfera adalah dua kali jejarinya.
Maps : iaitu peta yang diambil atau di lukis daripada bumi yang berbentuk sfera yang dapat menterjemahkan keseluruhan kedudukan dan jarak pada bumi. Cara penyalinan semula ini dipanggil ` map projections’. Ada tiga cara untuk tujuan ini antaranya ialah :
a) Cylindrical projection
b) Conic projection
c) Plane projection
Symmetric figures
1) Reflection symmetry for plane figures : transformasi geometri bagi suatu titik atau set titik dari sebelah suatu titik ,garis atau satah ke suatu kedudukan bersimetri disebelah yang lain. Satu garisan dilukis melalui sesuatu bentuk. Setiap titik asal bentuk tersebut mempunyai jarak yang sama dari garis itu tetapi disebelah yang lain pula. Manakala reflection yang menggunakan cermin rajah yang terbentuk didalam cermin mempunyai bentuk yang dan dikenali sebagai image.
2) Rotation symmetry for plane figures : transformasi geometri dimana suatu rajah digerakkan secara kekal di sekitar suatu titik tetap. Jika titik tersebut,pusat putaran dilabelkan sebagai O,maka untuk sebarang titik P pada rajah tersebut yang bergerak ke titik P’ setelah diputarkan.
3) Reflection symmetry for space figures : transformasi geometri 3-D dimana image akan terbentuk seperti pantulan didalam cermin dimana paksi simetri yang akan memisahkan bentuk tersebut.
4) Rotation symmetry for spce figures : transformasi geometri 3-D dimana objek yang diputarkan akan berada pada tempat asalnya ,walaupun putaran dilakukan tetapi kedudukannya adalah sama berdasarkan darjah putaran yang telah ditetapkan.
The van Hiele Theory (Theory in Development of Learning Geometry)
Teori perkembangan pembelajaran Geometri ini telah dicipta oleh Dina van Hiele-Geldof dan Pierre Marie van Hiele, sepasang suami isteri dari Belanda yang telah banyak tahun mengkaji bagaimana kanak-kanak membentuk pemahaman terhadap Geometri Euclid. Mereka telah menamakan lima peringkat pemahaman geometri:
Level 0 (recognition)-peringkat mengenal dan menamakan bentuk
Level 1 (analysis)- peringkat menggambarkan cirri-ciri bentuk
Level 2 (Relationships)-peringkat mengelas dan membuat generalisasi terhadap ciri-ciri bentuk
Level 3 (Deduction)-peringkat membentuk pembuktian dan definisi berdasarkan pengkelasan
Level 4 ( Axiomatics)-peringkat meneroka pelbagai system geometri
Tiga peringkat pertama adalah peringkat yang perlu diterokai semasa pendidikan rendah. Pada peringkat pertama, kanak-kanak belajar mengenal jenis bentuk dan menamakan bentuk-bentuk yang ada di sekeliling mereka. Mereka mengenalpasti bentuk-bentuk ringkas seperti bulat, kon, segiempat, kiub dan sebagainya. Pengetahuan mengenai bentuk ini terbina sebelum alam persekolahan bermula lagi. Peringkat kedua adalah keupayaan kanak-kanak untuk menggunakan perkataan-perkataan yang lebih spesifik terhadap ciri yang ada pada bentuk tersebut seperti segitiga ada tiga sisi, tiga bucu, segiempat ada enam permukaan dan sebagainya.
Peringkat ketiga adalah peringkat di mana kanak-kanak berupaya membuat pengkelasan terhadap ciri bentuk yang telah diketahui serta memperkembangkannya ke dalam istilah-stilah yang lebih spesifik seperti sekata, tak sekata, bersudut tegak, condong, capah dan sebagainya.
Matematik adalah salah satu bidang ilmu yang sangat menyeluruh sifatnya. Ia merangkumi semua aspek kehidupan, seperti membuat perhitungan, membuat penilaian dan seterusnya membuat keputusan. Melalui proses penyelesaian masalah seharian, manusia dikerah untuk mengeluarkan pendapat seterusnya memberikan hujah terhadap keputusan atau langkah penyelesaian yang diambil. Disinilah peranan berfikir secara matematik dapat membantu manusia membuat pertimbangan yang wajar sebelum memilih sesuatu jalan penyelesaian.
Bagi memperkembangkan potensi pemikiran matematik di dalam akal manusia, ia seharusnya bermula dari peringkat kanak-kanak. Konsep matematik terhadap alam sekeliling sebenarnya telah wujud di dalam akal kanak-kanak sejak dari peringkat bayi lagi. Ini merujuk kepada sifat ingin tahu kanak-kanak terhadap objek, terutama melalui deria sentuhan. Pendedahan awal kepada banyak bentuk konkrit di sekeliling kanak-kanak sebenarnya mencetuskan pelbagai persepsi terhadap alam sekeliling. Pelbagai konsep terbentuk di dalam minda kanak-kanak, yang boleh bersifat betul dari segi konsepnya, ataupun yang bersifat miskonsepsi.
Konsep Geometri dan hubungannya dengan kanak-kanak tidak dapat dipisahkan. Seperti yang telah dijelaskan, penerokaan kanak-kanak terhadap bentuk, terutama bentuk 3 dimensi telah berlaku sejak bayi. Mereka dideahkan dengan pelbagai objek permainan yang mempunyai pelbagai bentuk, saiz, warna dan tekstur. Pendedahan awal inilah yang membantu kanak-kanak membentuk pemikiran terhadap geometri. Apabila kanak-kanak memasuki alam persekolahan, rancangan pengajaran dan pembelajaran kemahiran geometri mestilah berdasarkan prakonsep yang telah terbentuk di dalam pemikiran kanak-kanak ini. Peranan guru adalah sangat kritikal supaya konsep-konsep yang terbentuk dapat dikembang atau diperbetulkan bagi membolehkan kanak-kanak memahami serta dapat menyelesaikan masalah yang berkait dengan geometri, seterusnya menghargai keindahan yang terdapat di dalam unsur-unsur geometri.
Apakah Geometri
Ilmu geometri telah wujud dan berkembang sejak dari zaman mesir purba, walaupun ia lebih lama daripada itu. Pandangan cendikiawan hanya merujuk bermulanya ilmu geometri pada zaman Tamadun Mesir, kerana bermula pada zaman inilah, ilmu geometri direkodkan secara bertulis. Unsur perkembangan geometri adalah disebabkan aktiviti menyukat semula kawasan milik penduduk mesir yang sering di landa banjir akibat limpahan sungai Nil. Geometri berasal daripada perkataan latin iaitu ‘Geo’ yang bermaksud tanah, dan ‘metri’ yang bermaksud ukur. Secara umumnya, ilmu geometri adalah cabang ilmu matematik yang mengambil berat persoalanan mengenai saiz, bentuk, dan kedudukan relatif dari rajah dan sifat ruang. Geometri ialah salah satu dari sains yang tertua. Permulaan geometri terawal yang direkodkan boleh dijejak ke Mesopotamia purba, Mesir, dan Lembah Indus dari sekitar 3000 SM. Geometri awal adalah koleksi dari empirikal yang dijumpai yang mengambil berat jarak, sudut, luas, dan isipadu, yang telah berkembang untuk menemukan sesetengah keperluan praktikal dalam tinjauan, pembinaan, astronomi, dan berbagai kraf. Teks terawal yang dikenali pada geometri ialah Papirus Papirus Mesir, dan Papirus Moscow, Batu bersurat tanah liat Babylonia, dan Shulba Sutras India, manakala orang Cina mempunyai karya Mozi, Zhang Heng, dan Sembilan Bab pada Seni Matematik, ditulis oleh Liu Hui.
Geometri Euclid merupakan sebuah sistem matematik yang disumbangkan oleh seorang ahli matematik Yunani bernama Euclid dari Alexandria. Teks Euclid, Elements merupakan sebuah kajian sistematik yang terawal mengenai geometri. Ia sudah menjadi salah satu buku-buku yang paling berpengarh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan kaedahnya yang mempunyai isi kandungan matematik. Kaedah cara yang mengandungi andaian satu set aksiom secara intuitif yang sangat menarik, dan kemudiannya membuktikan banyak usul (teorem-teorem) daripada aksiom-aksiom berkenaan. Walaupun banyak daripada keputusan-keputusan oleh Euclid sudah dinyatakan oleh ahli-ahli matematik Yunani sebelumnya, Euclid merupakan orang yang pertama untuk menunjukkan bagaimana usul-usul ini diletakkan secara sempurna membentuk satu deduksi dan sistem logik yang komprehensif. Buku Elements ini bermula dengan geometri satah, yang masih lagi diajar di sekolah menengah sebagai satu sistem aksioman dan contoh-contoh pembuktian formal yang pertama. Kemudiannya, Elements merangkumi geometri pepejal dalam tiga dimensi, dan seterusnya geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu bilangan dimensi yang terhingga. Kebanyakan daripada Elements menyatakan keputusan-keputusan dalam apa yang kini disebut sebagai teori nombor, yang boleh dibuktikan menerusi kaedah geometri.
Rasional Ilmu Geometri
Geometri menghubungkan manusia dengan dunia seharian. Semua aspek praktikal dan estetik geomteri boleh ditemui dalam bidang seni dan pembinaan, penerokaan ruang, perancangan perumahan, serta rekaan fesyen dan kenderaan. Topik-topik ini sebenarnya memberikan persepsi yang berbeza kepada kanak-kanak dan akan menarik minat mereka untuk melibatkan diri dengan ilmu geomteri. Hubungan yang terbentuk dengan alam sekeliling dengan ilmu geomteri akan membentuk dan mengembangkan pengetahuan dan kemhiran geometri, kemahiran memvisualisasi ruang, atau boleh ditakrifkan sebagai celik ruang (spatial sense), serta keupayaan menyelesai masalah.
Del Grande dan Morrow (1989), menyenaraikan 7 kemahiran yang menyumbang kepada kemahiran celik ruang iaitu;
a) Koordinasi motor-mata
b) Persepsi latar-bentuk
c) Ketetapan persepsi
d) Position-in –space perception
e) Persepsi hubungan antara ruang
f) Diskriminasi visual
g) Memori visual
Semua kemahiran ini boleh dikuasai dan dikembangkan dengan aktiviti yang dilakukan dengan meneroka bentuk 2 dimensi dan tiga dimensi oleh kanak-kanak.
Sistem dan konsep Geometri
Disebabkan geometri adalah sebahagian daripada kehidupan manusia, ahli-ahli matematik telah membangunkan beberapa system geometri. Sistem-sistem tersebut adalah Geometri Topologi, Geometri Euclidean, Geometri Koordinat dan Geometri Transformasi.
Geometri Topologi adalah ilmu geometri yang berkait dengan kedudukan objek seperti dekat, jauh, dalam, luar dan sebagainya. Konsep-konsep yang perlu kanak-kanak didedahkan adalah seperti konsep ‘proximity’, kedudukan relatif, susunan serta pengasingan dan juga konsep ‘enclosure’.. Geometri Koordinat adalah juga geometri kedudukan tetapi dalam bentuk grid grid dan biasanya meliibatkan titik-titik atau paksi. Geometri Transformasi pula merujuk kepada geometri berubah seperti pusingan, terbalik, pantulan dan sebagainya. Teselasi adalah konsep penting yang perlu dikembangkan di dalam Geometri Transformasi. Geometri Euclidean adalah system geometri yang paling luas dipelajari, iaitu ilmu geometri asas yakni bentuk, sama ada 2 dimensi atau 3 dimensi. Dalam geometri Euclidean inilah kanak-kanak malahan seluruh manusia belajar mengenai bentuk serta elemen-elemen di dalamnya.
Walaupun system ini wujud dalam bentuk yang terasing, tetapi dari aspek praktikalnya masing-masing saling bertindan. Hanya istilah yang boleh membezakan setiap jenis geometri ini. Gurulah yang berperanan mendedahkan kepada murid ilmu geometri agar mereka dapat menguasai kemahiran geometri serta celik ruang.
Elemen-Elemen Geometri
Plane Figures
1) Points : ialah titik iaitu lokasi dalam ruang,pada permukaan atau dalam system koordinat. Titik tidak mempunyai dimensi dan ditakrifkan hanya oleh kedudukannya sahaja. Ianya mengandungi lebar dan ketebalan.
2) Lines : ialah sambungan diantara dua titik dalam ruang atau pada suatu permukaan. Garisan merupakan satu siri set titik. Ianya mempunyai panjang tetapi tidak ada lebar,iaitu mempunyai satu dimensi sahaja. Garis lurus ialah jarak terpendek diantara dua titik pada permukaan yang rata.
3) Planes : ialah sebarang lokus titik – titik yang diperluaskan dalam dua dimensi. Ia ditakrifkan sebagai satu luas. Permukaan boleh menjadi rata (permukaan satah) atau melengkung, terhingga atau tak terhingga. Ianya mempunyai panjang dan lebar tetapi tiada tinggi.
4) Angles : iaitu ruang diantara dua garisan atau permukaan yang bertemu. Jika dua garis selari,maka sudut diantaranya ialah sifar. Sudut diukur dalam `darjah’ atau dalam `radian’. Satu kitaran lengkap ialah 360 darjah. Garis lurus membentuk sudut 180 darjah dan sudut tegak ialah 90 darjah.
5) Curves and convex sets :
curves : ialah set titik – titik yang membentuk atau boleh disambungkan oleh satu garis selanjar pada graf atau permukaan yang lain. Terdapat beberapa jenis lengkung(curves) antaranya ialah :
5.1) simple curve : iaitu titik mula dan titik akhir tidak bertindih antara satu sama lain atau tidak bertemu di penghujungnya.
5.2) simple closed curve : iaitu lengkung mudah yang mana titik mula dan titik akhirnya bertemu di satu titik yang sama.
5.3) closed curve : iaitu lengkung yang bertindih diatasnya sendiri tetapi titik mula dan titik akhir bertemu disatu titik yang sama.
Convex sets : iaitu penyatuan diantara `simple closed curve’ didalamnya dipanggil kawasan permukaan (plane region). Ianya boleh diklasifikasikan kepada dua iaitu convex dan nonconvex :
Convex : iaitu garisan lurus dan lengkung yang bersatu diantara dua titik.
Nonconvex : iaitu garisan yang merentasi lengkung atau garis lurus yang merentasi suatu permukaan sempadan yang berada diluar kawasannya.
6) Polygons : iaitu `simple closed curve’ yang mana penyatuan diantara garis – garis lurus. Penyatuan garis lurus didalam polygon disebut sebagai kawasan bersudut(polygonal region). Polygon boleh diklasifikasikan kepada beberapa jenis berdasarkan kepada bilangan sisi garis lurus yang terdapat padanya. Garisan lurus pada polygon disebut sisi(sides),titik akhir yang bertemu disebut bucu(vertices). Dua sisi adalah sisi bersebelahan jika berkongsi bucu yang sama dan dua bucu adalah bucu yang bersebelahan jika berkongsi garis lurus sisi yang sama. Mana – mana garis lurus yang menyambungkan dari satu bucu ke bucu yang tidak bersebelahan di panggil pepenjuru(diagonal).
Polygons and tessellations
1) Angles in polygons : sudut diukur dalah `darjah’ atau dalam `radian’. Satu kitaran lengkap ialah 360 darjah. Garis lurus membentuk sudut 180 darjah manakala suatu sudut tegak ialah 90 darjah. Sudut diantara satu garis lurus dan satu satah/permukaan ialah sudut diantara garis itu dengan unjuran ortogonnya pada satah itu. Sudut diantara dua satah atau permukaan ialah sudut diantara garis – garis yang dilukis bercabang dengan menggunakan titik yang sama. Terdapat beberapa jenis sudut dalam polygon diantaranya ialah :
a) Sudut tirus
b) sudut lurus
c) sudut tegak
d) sudut refleks
e) sudut cakah
2) Congruence : adalah suatu keadaan dimana menunjukkan dua atau lebih banyak rajah yang sama dalam saiz dan bentuk. Suatu rajah apabila diletakkan didalam satu rajah yang lain,bentuknya menjadi sama. Ianya juga boleh digerakkan tanpa mengubah saiznya. dua garis lurus adalah kongruen jika kedua – duanya adalah sama panjang dan dua sudut adalah kongruen jika ukurannya adalah sama.
3) Regular polygons : polygon disebut sebagai `regular polygon’ jika ianya memenuhi kedua – dua criteria berikut :
a) Semua sudut adalah kongruen
b) Semua sisinya adalah kongruen
Antara jenis – jenis `regular polygon’ ialah :
a) Equilateral triangle
b) Square
c) Regular pentagon
d) Regular hexagon
e) Regular heptagon
4) Tessellations with polygons : ialah suatu keadaan dimana penyusunan bentuk – bentuk polygon tanpa ada pertindihan rajah diatasnya dan ada jurang yang berlaku diantaranya untuk menutup sesuatu ruang. Contohnya seperti floors and ceilings. Tiga jenis polygon iaitu ` regular hexagons’ , `square’ and ` equilateral triangles’ adalah `regular polygons’ yang tessellated(menyerupai mozek).
Space figures
1) Planes : didalam bentuk 2-D seperti (lines,angles,polygons) hanya terdapat pada satu permukaan (plane). Dalam 3-D pula ianya terbentuk daripada sejumlah permukaan yang dicantumkan menjadi bongkah. Apabila dua permukaan(plane)yang selari diletakkan secara bersilang maka terdapat sudut tegak iaitu perpendicular.
2) Polyhedra : adalah bentuk – bentuk 3-D yang terdiri daripada beberapa permukaan rata. Setiap garis lurus sisi terbentuk secara semulajadi. Setiap permukaan yang ada pada bongkah itu dipanggil `polygonal region’,yang apabila digabungkan menjadi polyhedral. Permukaan yang terdapat pada polyhedra dipanggil permukaan(faces),permukaan bersilang pada sisi/tepi dan bucu. Penyatuan polyhedron dan bahagian didalamnya dipanggil solid(pepejal). Polyhedron dipanggil convex(cembung) apabila garis lurus bersambung dengan titik yang berada didalam ataupun pada permukaannya.
3) Regular polyhedra : ialah `convex polyhedron’ yang mana permukaannya sama dengan `regular polygons’. Bilangan yang sama apabila bertemu pada setiap bucu. Terdapat 5 `regular polyhedra’ diantaranya :
a) Tetrahedron : 4 triangles for faces
b) Cube : 4 square faces
c) Octahedron : 8 triangular faces
d) Dodecahedron : 12 pentagons for faces
e) Icosahedrons : 20 triangular faces
Semiregular polyhedral : yang mana permukaannya mempunyai dua atau lebih `regular polygons’ dengan susunan yang sama pada keseluruhan bucu – bucunya bertemu.
4) Pyramids and prisms :
Pyramids : iaitu rajah yang mana tapaknya ialah sebarang polygon dan permukaannya mestilah beberntuk segitiga dengan bucu yang sama. Pyramid dinamakan berdasarkan bentuk tapaknya. Pyramid juga mempunyai puncak(apex).
Prisms : iaitu rajah yang mempunyai dua permukaan yang selari diatas dan dibawah yang disebut sebagai tapak,ianya juga merupakan polygon kongruen. Sepertimana pyramid,prisma juga dinamakan berdasarkan bentuk tapaknya.
5) Cones and cylinders :
Cones : ialah sebuah bentuk dimana ianya menyerupai pyramid dan prisma tetapi mempunyai tapak yang berbentuk bulat,manakala sisi/tepinya melengkung dan mencondong ke arah bucu(apex).
Cylinders : mempunyai dua tapak yang berbentuk bulat yang sama saiz. Ianya mempunyai bahagian sisi yang melengkung yang menghubungkan dua tapak itu tadi.
6) Spheres and maps :
Spheres : adalah satu siri set titik dalam ruang yang mempunyai jarak yang sama dari titik pusat. Penyatuan semua sfera dalamannya membentuk `solid sphere’.
Jejari : jarak dari pusat bulatan ke seberang titik pada lilitannya atau dari pusat sfera ke permukaannya.
Diameter : jarak yang melintangi suatu rajah satah atau satu bulatan pada titik yang paling lebar. Diameter bulatan atau sfera adalah dua kali jejarinya.
Maps : iaitu peta yang diambil atau di lukis daripada bumi yang berbentuk sfera yang dapat menterjemahkan keseluruhan kedudukan dan jarak pada bumi. Cara penyalinan semula ini dipanggil ` map projections’. Ada tiga cara untuk tujuan ini antaranya ialah :
a) Cylindrical projection
b) Conic projection
c) Plane projection
Symmetric figures
1) Reflection symmetry for plane figures : transformasi geometri bagi suatu titik atau set titik dari sebelah suatu titik ,garis atau satah ke suatu kedudukan bersimetri disebelah yang lain. Satu garisan dilukis melalui sesuatu bentuk. Setiap titik asal bentuk tersebut mempunyai jarak yang sama dari garis itu tetapi disebelah yang lain pula. Manakala reflection yang menggunakan cermin rajah yang terbentuk didalam cermin mempunyai bentuk yang dan dikenali sebagai image.
2) Rotation symmetry for plane figures : transformasi geometri dimana suatu rajah digerakkan secara kekal di sekitar suatu titik tetap. Jika titik tersebut,pusat putaran dilabelkan sebagai O,maka untuk sebarang titik P pada rajah tersebut yang bergerak ke titik P’ setelah diputarkan.
3) Reflection symmetry for space figures : transformasi geometri 3-D dimana image akan terbentuk seperti pantulan didalam cermin dimana paksi simetri yang akan memisahkan bentuk tersebut.
4) Rotation symmetry for spce figures : transformasi geometri 3-D dimana objek yang diputarkan akan berada pada tempat asalnya ,walaupun putaran dilakukan tetapi kedudukannya adalah sama berdasarkan darjah putaran yang telah ditetapkan.
The van Hiele Theory (Theory in Development of Learning Geometry)
Teori perkembangan pembelajaran Geometri ini telah dicipta oleh Dina van Hiele-Geldof dan Pierre Marie van Hiele, sepasang suami isteri dari Belanda yang telah banyak tahun mengkaji bagaimana kanak-kanak membentuk pemahaman terhadap Geometri Euclid. Mereka telah menamakan lima peringkat pemahaman geometri:
Level 0 (recognition)-peringkat mengenal dan menamakan bentuk
Level 1 (analysis)- peringkat menggambarkan cirri-ciri bentuk
Level 2 (Relationships)-peringkat mengelas dan membuat generalisasi terhadap ciri-ciri bentuk
Level 3 (Deduction)-peringkat membentuk pembuktian dan definisi berdasarkan pengkelasan
Level 4 ( Axiomatics)-peringkat meneroka pelbagai system geometri
Tiga peringkat pertama adalah peringkat yang perlu diterokai semasa pendidikan rendah. Pada peringkat pertama, kanak-kanak belajar mengenal jenis bentuk dan menamakan bentuk-bentuk yang ada di sekeliling mereka. Mereka mengenalpasti bentuk-bentuk ringkas seperti bulat, kon, segiempat, kiub dan sebagainya. Pengetahuan mengenai bentuk ini terbina sebelum alam persekolahan bermula lagi. Peringkat kedua adalah keupayaan kanak-kanak untuk menggunakan perkataan-perkataan yang lebih spesifik terhadap ciri yang ada pada bentuk tersebut seperti segitiga ada tiga sisi, tiga bucu, segiempat ada enam permukaan dan sebagainya.
Peringkat ketiga adalah peringkat di mana kanak-kanak berupaya membuat pengkelasan terhadap ciri bentuk yang telah diketahui serta memperkembangkannya ke dalam istilah-stilah yang lebih spesifik seperti sekata, tak sekata, bersudut tegak, condong, capah dan sebagainya.
Subscribe to:
Posts (Atom)
